Phasenplots

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Will man sich nicht nur am ästhetischen Reiz der oben gezeigten Bilder erfreuen, sondern auch das Dargestellte verstehen, so sind Kenntnisse über komplexe Zahlen hilfreich. Zunächst ist es ausreichend zu wissen, dass komplexe Zahlen z als Punkte einer Ebene, der GAUSSschen Zahlenebene, interpretiert werden können. Man bezeichnet die horizontale Koordinate x und die vertikale Koordinate y eines solchen Punktes als Realteil (Re z) beziehungsweise Imaginärteil (Im z) der Zahl z und schreibt z=x+iy. Die Lage des Punktes z in der GAUSSschen Zahlenebene lässt sich auch durch seinen Abstand vom Koordinatenursprung (|z|, Betrag von z) und einen Winkel (arg(z), Argument von z) angeben (Polarkoordinaten). Will man eine komplexe Funktion, d.h. einer Funktion mit einer komplexen Variablen z und mit komplexen Funktionswerten f(z) grafisch darstellen, so stößt man auf ein Dilemma. Es besteht darin, dass man dafür insgesamt vier Dimensionen benötigt, zwei für die Variable z und zwei für den Funktionswert f(z). Das Phasenplot einer komplexen Funktion dient zu deren Visualisierung. Es entsteht, indem zunächst alle Punkte der Zahlenebene nach einem speziellen Schema gefärbt werden, dessen einfachste Form im mittleren Bild gezeigt ist. Es wird erzeugt, indem die Farben eines Farbkreises (linkes Bild) auf im Koordinatenursprung beginnende Strahlen übertragen werden. Punkte mit gleichem Argument (oder "Phase") sind also gleich gefärbt (mittleres Bild).

Abbildung 1Abbildung 2

- f ->

Abbildung 3

Zur Darstellung einer Funktion f wird nun jedem Punkt z ihres Definitionsgebiets diejenigen Farbe zugeordnet, die der Funktionswert f(z) besitzt (rechtes Bild). Die vorgegebene Farbkodierung des Wertebereichs wird also durch die Funktion auf das Definitionsgebiet zurück übertragen. Das Phasenplot kann als Fingerabdruck der Funktion betrachtet werden. Obwohl es nur einen Teil der Daten kodiert (das Argument) und andere Informationen unterdrückt (den Betrag), können Funktionen einer wichtigen Klasse ("analytische" und allgemeiner "meromorphe" Funktionen) im wesentlichen eindeutig rekonstruiert werden. 

Abbildung 4

 - f ->

Abbildung 5 Abbildung 6

- f ->

Abbildung 7


Durch verschiedene Modifikationen der Farbkodierung lassen sich Eigenschaften der Funktion leichter ablesen. Die linke Variante bezieht auch den Betrag der Funktion in die Darstellung ein, die rechte verdeutlicht außerdem, dass die Funktion eine "winkeltreue" Abbildung vermittelt.